9°-Función

CONCEPTO DE FUNCIÓN 

9° - MATEMÁTICAS - CLASE #10

En matemáticas, cuando el valor de una magnitud depende de otra, decimos que la primera está en función de la segunda. Fue el físico y matemático suizo Leonhard Euler quien introdujo la noción de función matemática, refiriéndose a ella como f(x).

Observa el siguiente vídeo para que te introduzcas en el tema

Concepto de Función

 Conceptualmente puedes pensar que una función es una especie de máquina transformadora que, a partir de una variable de entrada, ofrece una salida única determinada. Así, en nuestro ejemplo de la longitud de la circunferencia, cuando la función recibe el valor del radio R (variable independiente), la "máquina" nos devuelve el valor de la longitud L (variable dependiente).

 

Función como relación entre conjuntos

En nuestra imagen, el conjunto A está formado por personas y el conjunto B está formado por pesos. La función f, representada por la máquina en el centro, es la encargada de asociar a cada persona su peso. Además, en la definición anterior llamábamos a a cada elemento del conjunto inicial y b a cada elemento del conjunto final. El valor de b se obtiene aplicando la regla f  "peso de la persona" al elemento a. ¿Se te ocurre qué aparato de tu día a día podría representar en este caso el funcionamiento de la máquina?

 

 

Veamos otros ejemplos de funciones:

Una función que relaciones un conjunto A formado por personas, con un conjunto B formado por colores, a través de la regla "a cada persona su color de ojos"

 

Es importante que te percates de que no todas las relaciones entre variables pueden ser consideradas funciones. Para que lo sean, a cada valor del conjunto inicial A le tiene que corresponder un único valor del conjunto final B, esto es, la función debe ser univaluada. Aunque un valor del conjunto B puede estar asociado a varios valores del conjunto A.

 No todas las relaciones son funciones

 

En una función, a cada elemento de B pueden llegar varias flechas de A, pero de un elemento de A no pueden salir varias flechas. Así, dada una correspondencia que sea una función (ilustración izquierda), la correspondencia inversa (ilustración derecha) no tiene por qué serlo también.

 

Representación de una función

 

Una vez entendido qué son, conceptualmente, las funciones, cabe preguntarnos exactamente cómo podemos representarlas. Lo fundamental de una representación es que nos permita obtener la imagen a partir de cada elemento del dominio. Para ello se proporciona una regla de transformación o de correspondencia, que puede estar dada en distintas formas.

Fórmula o ecuación matemática

Damos la regla de correspondencia mediante una fórmula que relaciona algebraicamente varias magnitudes. Implica que tanto el conjunto inicial como el final son numéricos, normalmente números reales.

f(x)=5x+2; Se lee "efe de equis igual a cinco equis más dos". En azul hemos marcado el valor de entrada a la función, en verde el valor de salida, y la regla de transformación sería 5·x+2

y=5⋅x+2; En este caso al valor de salida lo llamamos y

g(x)=5⋅x+22x; La particularidad esta vez es que la llamamos g, en lugar de f

 

Tablas de pares ordenados

A cada pareja de valores entrada-salida correspondientes se le denomina par ordenado y se suele denotar por (x, f(x)). En ocasiones, sólo son relevantes ciertos valores de la función. Podemos formar una tabla a partir de ellos, con los pares ordenados

 

Gráfica

Otra forma muy habitual de dar la regla de correspondencia es mediante una gráfica. Cuenta con unos ejes (habitualmente los ejes cartesianos) que representan las variables de entrada (independientes) y salida (dependientes). Sobre ellos se dibujan los puntos correspondientes a los pares ordenados en el lugar del plano (o del espacio, en el caso de funciones reales de dos variables independientes) que les corresponda. Uniendo estos puntos nos queda un trazo lineal (o una superficie) que representa la función buscada.

Las gráficas son ideales para visualizar y conocer intuitivamente algunas características de las funciones estudiadas, tales como su crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, etc. Algunos ejemplos:

La representación gráfica de una función solo tiene sentido para aquellas cuyo conjunto inicial y conjunto final sean valores numéricos. Concretamente cuando el dominio tenga una dimensión obtendremos gráficamente un trazo lineal, y cuando tenga dos dimensiones obtendremos una superficie.

  

ACTIVIDAD

A.  A partir de los diagramas de la figura, determina la regla de correspondencia o transformación que se le aplica al primer conjunto para obtener el segundo conjunto en cada caso.

 

 B.  En las siguientes gráficas, determina si las relaciones entre variables podrían corresponder a lo que se conoce matemáticamente como función:

 

ATENCIÓN: Transcribir la actividad al cuaderno, tomas una foto con la actividad resuelta y la envías al correo del profesor Raúl Camelo: raulc472@hotmail.com o al formulario que aparece abajo para tu evaluación.